Кватерніони

Відео: Unity 3D C # Анімація обертання Кватерніони (Пояснення)

кватерніон - Гіперкомплексні числа, яке реалізується в 4-вимірному просторі. Вперше описано В. Р. Гамільтоном в 1843 році.
Кватерніон має вигляд де
- Дійсні числа-
- Уявні одиниці, задовольняють співвідношенню

, З яких випливають ще й такі співвідношення:

Часто замість використовують позначення для уявних одиниць відповідно а також покладають
Ще один, зрідка використовується, варіант позначень:
Кватерніони можна визначити через комплексні числа, використовуючи процедуру подвоєння Келі-Діксона.
дійсне число називається скалярним частиною кватерниона, а - векторної частиною.
Якщо, то кватерніон називається чисто скалярним, а при - чисто векторних.


Якщо то називається одиничним кватернионов. Легко перевірити, що, тобто кватерніони мають мультипликативна норму- з цього співвідношення слід так звана тотожність чотирьох квадратів.
Виходячи з вищенаведених властивостей уявних одиниць, неважко отримати такі властивості:
З некомутативності множення слід, що система кватернионов не є полем. Однак вона є тілом і, таким чином, не містить дільників нуля. Тіло кватернионов зазвичай позначається. Сказане вище свідчить про здійсненність поділу в системі кватерніонів, але слід розрізняти ліве і праве ділення.
Кватерніон можна представити у вигляді пари скаляра і 3-мірного вектора:

.

Виявляється, що множення кватерніонів можна записати через скалярний та векторний добутки відповідних 3-мірних векторів:



При такому підході чисто векторні кватерніони можна ототожнити з 3-мірними векторами. Тоді твір двох таких кватернионов можна отримати, віднявши від їх векторного твори їх скалярний добуток.
Кватерніон може бути представлений у вигляді матриці 2 + 2 з комплексних чисел:




Детальніше в статті Кватерніони і повороти простору


Іноді зазначені в цій статті кватерніони називають дійсними кватернионами, розглядаючи також комплексні кватерніони, визначення яких відрізняється від наведеного тільки тим, що - комплексні числа. При цьому комплексна одиниця НЕ ототожнюється з кватернионами одиницею так що їх доводиться позначати по-різному (наприклад, з використанням наведених вище альтернативних позначень або виділяючи кватернионами одиниці жирним шрифтом).

Увага, тільки СЬОГОДНІ!