Рівняння ейнштейна

Відео: Лекція 11: Енергія, імпульс і рівняння Ейнштейна

рівняння Ейнштейна - основні рівняння загальної теорії відносності. Невідомою величиною в рівняннях Ейнштейна є метричний тензор g i k



де R i k - тензор Річчі, R - скалярний спотворення, g i k - метричний тензор,? - космологічна константа, T i k - тензор енергії-імпульсу, який визначає негравітуючу матерію, енергію і сили в довільній точці простору-часу,? - число Пі, c - швидкість світла, G - гравітаційна стала, яка з`являється і в відповідному законі всесвітнього тяжіння Ньютона. Тензор Річчі, скалярний спотворення і тензор енергії-імпульсу теж залежать від метричного тензора.
У загальному випадку рівняння Ейнштейна містить космологічну константу, хоча пізніше Ейнштейн відпмовівся від її використання. Космологічна константа була введена для того, щоб досягти стаціонарності Всесвіту, але відкриття червоного зсуву заклало сумніви в стаціонарності.
Інформація про розподіл мас і полів міститься в тензора енергії-імпульсу. Для повного розгляду фізичної системи рівняння Ейнштейна повинні бути доповненими рівнянням стану матерії.
Спробуємо вивести рівняння гравітації, яке узгоджувалося з принципами загальної теорії відносності і в граничному випадку малих мас і малих швидкостей переходило в класичний закон Всесвітнього тяжіння Ньютона. Для виведення досить розглянути тільки статичну задачу, коли маси не рухаються і гравітаційне поле не змінюється з часом. У класичному випадку прискорення вільного падіння до тяжіючи центру m дається формулою зворотних квадратів:



Ця сила виявляється консервативною, і аналогічно електростатики ми можемо розглядати гравітаційний потенціал?:



Прискорення вільного падіння дорівнює взятому зі знаком мінус градієнта потенціалу:



а з формули (3), повністю аналогічно електростатики, отримуємо наступне рівняння Лапласа:



де? - щільність маси. Це рівняння класичної механіки ми візьмемо за основу і спробуємо знайти його релятивістський аналог.
При переході до загальної теорії відносності ми повинні замінити щільність маси? релятивістськи-інваріантною величиною. Такий величиною, причому приблизно пропорційним щільності?, Є тензор енергії-імпульсу T i j. Оскільки маси нерухомі, то потоку енергії немає, і недіагональні елементи Тезора T i j дорівнюють нулю. Також ми можемо знехтувати напруженнями всередині фізичного тіла в порівнянні з дуже великою щільністю енергії спокою W =? c 2. Таким чином, в нашому випадку в тензора енергії-імпульсу відмінна від нуля лише одна тимчасова компонента:



Цей тензор стояти (з деяким коефіцієнтом пропорційності) в правій частині шуканого рівняння - він породжує гравітацію. А що ми повинні написати в лівій частині, тобто таке гравітація? Відповідь дав Ейнштейн, сформулювавши принцип еквівалентності - це викривлення чотиривимірного простору-часу. Сила тяжіння обчислюється за тією ж формулою, що і сили інерції в неінерційних системах координат:



Згідно коваріантна координата сили тяжіння в тривимірному просторі (знак мінус враховує псевдоевклідовість):



У цій формулі похідна координат береться за власним часом? матеріальної точки:



Ми візьмемо для вимірювання сили тяжіння нерухоме пробне тіло масою m. Уздовж світової лінії цього тіла змінюется тільки нульова координата , Тому:



Прирівнюючи формули (4) і (9) знаходимо, що нульова компонента метричного тензора пов`язана з гравітаційним потенціалом:





Константу інтегрування ми можемо знайти, знаючи що на нескінченності (далеко від тяжіючи тел) нульова компонента метричного тензора дорівнює одиниці, а потенціал перетворюється в нуль згідно з формулою (3). Отже:



Тепер ми готові підібрати релятивістський аналог для лівої частини формули (5). Ясно, що цей аналог повинен містити другу похідну метричного тензора g i j і одночасно бути тензором, щоб задовольнити основну вимогу загальної теорії відносності - бути інваріантним щодо довільної заміни системи координат. Ми не можемо використовувати приватні похідні самі по собі, оскільки вони не є тензором (при заміні системи координат перетворюються не по тензорним правилам. Також ми не можемо скористатися коваріантною похідною, оскільки відомо, що коваріантна похідна метричного тензора тотожно дорівнює нулю. Але нам підходить тензор внутрішньої кривизни (тензор Рімана):




Ясно, що при малому викривленні простору-часу ми можемо вибрати близьку до декартовій системі координат. У ній символи Крістофеля будуть близькі до нуля, так відкинувши (два останніх) квадратичні складові у формулі (13) ми в правій частині отримаємо суму других похідних від метричного тензора. У цій сумі також будуть прісітні друга похідна від g 00, тобто від гравітаційного потенціалу (формула 11).
тензор кривизни R p i j k має чотири індекси, тому ми не можемо його безпосередньо прирівнювати до тензора енергії-імпульсу T i j з двома індексами. Зменшити кількість індексів можна, розглядаючи лінійні комбінації компонент тензора Рімана (12). Очевидно, ці лінійні комбінації теж містять суму дугіх похідних від гравітаційного потенціалу? (Так що залишається надія отримати аналог лівої частини формули (5)). Ми не будемо вводити нових фізичних величин, а скористаємося для коефіцієнтів цих лінійних комбінацій самим метричним тензором - тобто розглянемо згортки тензора Рімана. Одноразова згортка тензора за індексами (S j) дає тензор Річчі R_ {ik}:



Цей тензор симетричний і має два індекси, як і в тензора енергії-імпульсу T i j. Але крім (14) ми можемо утворити ще один симетричний тензор, помноживши метричний тензор g i j на скалярну кривизну R, яка є сверткой тензора Річчі:



Отже природними кандидатами на релятивістське узагальнення рівняння (5) є такі лінійні комбінації:



де коефіцієнти (?,?, k) є константами. Ці коефіцієнти можна уточнити, скориставшись локальним законом збереження енергії-імпульсу:



Отже дивергенція від лівої частини формули (16) повинна дорівнювати нулю. Якби тензор Рімана був зовсім довільним, то домогтися нульової дивергенції ми не змогли б ні за яких ненульових константах (?,?). Але на щастя, як чисто математична властивість, коваріантні похідні тензора Рімана пов`язані диференціальної тотожністю Біанкі:



Звернемо цю тотожність спочатку за індексами (K, q), а потім по (J, p):




З останнього рівності, перейменувавши індекс, по якому проходить згортка, ми можемо висловити дивергенцію тензора Річчі через градієнт скалярної кривизни :



Тепер ми готові, щоб застосувати дивергенцію до рівняння (16):





Це рівність (закон збереження енергії-імпульсу) буде тотожно виконується, якщо коефіцієнт? дорівнює:



Ясно, що тепер коефіцієнт? не може дорівнювати нулю (інакше з урахуванням (23) і (16) тензор T i j був би тотожним нулем). Ділимо рівність (16) на? і перепозначімо поки невідому константу k. В результаті приходимо до такого рівняння гравітації:



Нам залишилося знайти константу k. Для цього треба показати, що в наближенні слабкого поля, ліва частина рівняння (24) дорівнює з деяким коефіцієнтом Лапласіан гравітаційного потенціалу і обчислити цей коефіцієнт. Це не зовсім тривіально, оскільки крім тимчасової компоненти g 00 метричного тензора (формула 11), інші компонент може також змінюватися. Деталі обчислення дивіться в статті Слабке гравітаційне поле.
Вираз в лівій частині рівняння (24) є тензором Ейнштейна другого ступеня:



який можна отримати варіацією інтеграла Гаусса:



при зміні метричного тензора g i j на малу величину? g i j. Кривизна Гаусса другий степерня K [2] дорівнює половині скалярної кривизни:



Оскільки для матерії (зокрема для електромагнітного поля) тензор енергії-імпульсу теж утворюється з лагранжиана подібним чином як коефіцієнт при варіації метрики, наприклад:



то відбираючи від (28) попередньо помножене рівняння (26) (з належним множником, зворотним до коефіцієнта в правій частині рівняння (1)) отримаємо сукупний лагранжіан матерії і гравітаційного поля:



при варіації якого виходить все: як рівняння Ейнштейна для гравітації, так і рівняння руху матерії:



Другий доданок в правій частині (29) є лагранжіаном гравітаційного поля:



Варіаційний принцип зустрічається не тільки тут, але у всіх основних розділах фізики: класичній механіці, квантовій механіці, електродинаміці, теорії відносності. Така поширеність наводить на думку, що всі закони фізики пов`язані якимось (ще невідомим науці) одним універсальним рівнянням. Це рівняння може утворюватися варіацією "загальної дії" від деякого загального лагранжиана. Сам Альберт Ейнштейн займався пошуками цього рівняння, хоча без значних успіхів. Одним з результатів Ейнштейна є поправка до космологічної постійної.
Розглянемо замість виразу (31) будь-яку функцію від тензора Рімана і його коваріантних похідних, яка утворює скаляр по тензорним правилам. наприклад:



Тоді при варіації цього узагальненого лагранжиана ми отримаємо Узагальнений тензор Ейнштейна. Він наслідує основні властивості тензора Ейнштейна (формула 25) другого ступеня: симетричний, релятивістськи інваріантний, нульова дивергенція. Єдина умова на поправки у формулі (32): вони повинні бути малими в масштабах ближнього космосу (тобто Сонячної системи), щоб виконувався закон тяжіння Ньютона. Але в інших масштабах вони можуть проявитися. Зокрема члени з при великих масштабах - вселенських і галактичних. Квадратичні члени з можуть проявитися в малих, зокрема мікроскопічних масштабах. Детальніше це описано в статті Поправки до рівняння Ейнштейна.
Рівняння Ейнштейна нелінійні і розв`язки можна знайти в дуже обмеженій кількості випадків. Найвідоміший розв`язок - метрика Шварцшильда для сферичного розподілу маси.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!