Тотожні частинок

Відео: Фізика атомного ядра, В.Ф. Дмитрієв. лекція 2

тотожні частинок - одне з основних тверджень квантової механіки, згідно з яким частки однакового роду жодним чином не можливо розрізнити між собою і проіндексувати.
На відміну від класичної фізики, в квантовій механіці стан частинки не є чітко визначеним в просторі. Вірогідність знайти частку в тій чи іншій точці задається квадратом абсолютного значення хвильової функції. Тому, кожна з однакових часток має певну ймовірність перебувати в будь-якої певній точці простору. При таких умовах неможливо розрізнити, яку з них ми бачимо. Якщо в класичній фізиці частки однакові, ми все-таки можемо подумки присвоїти кожній з них номер і відстежувати їх траєкторії. У квантовій механіці це неможливо.
Умова тотожні частинок накладає додаткові вимоги до хвильового функції багаточастинкового системи. Вірогідність знайти частку в даній точці не залежить від довільно присвоєного цієї частинки індексу. Тобто, при зміні індексування, ймовірність повинна залишитися тією ж.
Взаємодія між частинками залежить від відстані між ними, а тому не змінюється при перестановці частинок. Наприклад, електрон, позначений індексом 1, взаємодіє з електроном, позначених індексом 2, вносячи вклад в потенційної енергії квантомеханічноі системи . Якщо змінити нумерацію, і позначити перший електрон індексом 2, а другий електрон індеском 1, то цей внесок в потенційної енергії не зміниться.
Схоже твердження справедливо щодо хвильової функції. При перестановці частинок ймовірність знайти частинку даного сорту в будь-якій точці простору не повинна змінитися. Але хвильова функція задає лише амплітуду ймовірності, тому при перестановці частинок хвильова функція може залишитися такою ж, або ж змінити знак на протилежний. Зміна знака хвильової фунции не впливає на ймовірність.
Таким чином, в квантовій механіці існують два види часток. Для одного з них при перестановці частинок знак хвильового функції не змінюється. Такі частинки називаються бозонами.
Частинки, для яких хвильова функція змінює знак при перестановці, називаються фермионами.
Формально твердження попереднього параграфа доводиться в такий спосіб.
назвемо оператором перестановок така дія на будь-яку багаточасткових хвільвову функцію, переставляє індекси частинок.



Оператор перестановок комутує з гамильтонианом





Отже, оператор перестановок має спільні з гамильтонианом власні функції.
Нехай? - власна функція оператора перестановок з певним власним числом?

.

Очевидно, повторна дія оператора перестановок на функцію повертає її до первісного вигляду, а тому



Звідси отримуємо рівняння для знаходження?



? 2 = 1

Два можливих рішення цього рівняння

? = 1 і


? = - 1,

а значить при перестановці часткок хвильова функція або залишається незмінною або змінює знак.
Нерозрізнюваність частинок в квантовій механіці призводить до існування особливої квантової статистики, різної для ферміонів і бозонів. Ферміони підкоряються статистиці Фермі-Дірака, бозони - статистикою Бозе-Ейнштейна.
Антисиметричність хвильової функції електронів має наслідком утворення ковалентних зв`язків (спаровування валентних електронів) в хімічних сполуках.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!